ộ > 0 t õ
q
j=1
m(r, H
j
, f) (n + 1 + )T (r, f),
tr õ t tự ú ợ ồ r > 0 ởt t õ ở
s ỳ
t q tr ừ rt ổ tr t rở ỵ
tt ữớ ỷ ử t q õ
ổ ữ r ữợ ữủ số t ữớ
ợ s tr tờ qt ổ tr ừ
ổ ữủ t sự q trồ r ởt ữợ
ự ợ t tr ỵ tt
ỵ tt ữớ s ữủ
t t ồ ờ t ừ t õ ỵ tt
rt
ỳ rở t q ừ rt trữớ
ủ s t t út ữủ sỹ ú ỵ ừ t ồ
ự tt ừ t r
ử t ổ ự r f : C P
n
(C)
ữớ ổ s số D
j
, j = 1, , q,
s t d
j
tr tờ qt õ
(q (n + 1) )T (r, f)
q
j=1
d
1
j
N (r, D
j
, f) + o(T (r, f)),
tr õ t tự tr ú ợ ồ r ừ ợ ởt
t õ ở s ỳ t q tr ữủ
rở trữớ ủ t ở
ỏ ồ ửt t q ữủ t ữ s
sỷ f : C P
n
(C) ởt ổ s
số D
j
1 j q q s t tr P
n
(C) õ d
j
tữỡ
ự tr tờ qt õ ợ ộ > 0 tỗ t ởt số
ữỡ M s
q (n + 1) )T (r, f)
q
j=1
d
1
j
N
M
(r, D
j
, f) + o (T(r, f)) ,
tr õ t tự tr ú ợ ồ r ừ ợ ởt
t õ ở s ỳ
ự sỹ tỗ t ừ
tổ q ữủ ừ s t ữớ t tữớ sỷ ử
ỵ ỡ tự rt tổ q t
ở r ỵ rt ỏ t
t t s ừ ữớ
ử t ừ tr t q ữủ
ữ r ừ ợ ổ ử ự ừ
ỵ tt rt tứ C
P
n
(C).
ữủ t ữỡ ũ ợ t
ử t t
ữỡ tr ởt số tự ỡ s
t t ừ r ự
ỵ ỡ tự ừ
ữỡ tr ự ởt ỵ ỡ tự
t s t tr tờ qt ữỡ
ữủ t ỹ tr ổ tr ừ
ữủ t ữợ sỹ ữợ ồ ừ
tọ ỏ t ỡ t
sỹ ú ù ồ t t
ỳ t ủ t t t
tr trồ ỡ t ổ trữớ ồ
ữ tở ồ t r
Pữỡ t ổ trữớ ồ ữ ở
t ổ ồ ú ù t
t õ ồ
ụ t ỡ trữớ
ổ t ổ t
ồ t ủ t t tr q tr ồ t
ữỡ
ỵ tt
r ữỡ ú tổ ởt số tự ỡ s
ữủ sỷ ử tr s tự ừ ữỡ
ữủ tr tứ
D ởt tr t ự C
f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ữủ ồ C t z
0
C tỗ
t ợ ỳ lim
h0
f(z
0
+ h) f(z
0
)
h
tr õ ữủ ồ ự ừ f(z) t z
0
f(z) ữủ ồ C tr D õ C t ồ
z
0
D.
f(z) ữủ ồ t z
0
C
õ C tr ởt õ ừ z
0
f(z) ữủ ồ tr D õ t ồ
z tở D
tr D H(D)
f(z) tr t t
ự C ữủ ồ
ỵ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tr D
u(x, y) v(x, y) R
2
tr D tr õ
u(x, y) v(x, y) tọ tự
u
x
=
v
y
,
u
y
=
v
x
, (x, y) D.
ỵ sỷ f(z) ởt tr ỳ
D C õ tr ộ ừ ộ z D
f(z) ữủ tr t ộ
f(z) = f(z
0
) +
(z z
0
)
1!
f
(z
0
) +
(z z
0
)
2
2!
f
(z
0
) + . . .
ỡ ỳ ộ tr ở tử f(z) tr trỏ
|z z
0
| tũ ỵ tr D.
ộ ữủ ồ ộ ừ f(z) tr
ừ z
0
.
z
0
C ữủ ồ ổ m > 0
ổ m > 0 ừ f(z) f
(n)
(z
0
) = 0,
ồ n = 1, , m 1 f
(m)
(z
0
) = 0.
f(z) ữủ ồ tr
D C f =
g
h
tr õ g, h tr D.
D = C t t õ f(z) tr C ỡ f(z)
z
0
ữủ ồ ỹ
m > 0 ừ f(z) tr ừ z
0
f(z) =
1
(z z
0
)
m
.h(z)
tr õ h(z) tr ừ z
0
h(z
0
) = 0
ỵ ổ tự Ps s sỷ f(z) 0
ởt tr trỏ {|z| R} ợ 0 < R <
sỷ a
à
à = 1, , M, ổ ở b
, = 1, 2, , N,
ỹ ừ f tr trỏ õ ụ ở õ
z = re
i
(0 < r < R), f(z) = 0, f(z) = t
log |f(z)| =
1
2
2
0
log
f(Re
i
)
R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d
+
M
à=1
log
R(z a
à
)
R
2
a
à
z
N
=1
log
R(z b
)
R
2
b
z
.
ỵ tt
sỷ f tr R r < R
ỵ n(r, , f) tữỡ ự n(r, , f), số ỹ t
ở tữỡ ự ổ t ở ừ f tr õ
r. sỷ a C t
n(r, a, f) = n
r, ,
1
f a
,
n(r, a, f) = n
r, ,
1
f a
.
t ở N(r, a, f), tữỡ ự
ổ t ở N(r, a, f) ừ f t tr a ữủ
ữ s
N(r, a, f) = n(0, a, f) log r +
r
0
n(t, a, f) n(0, a, f)
dt
t
,
tữỡ ự
N(r, a, f) = n(0, a, f) log r +
r
0
n(t, a, f) n(0, a, f)
dt
t
).
t a = 0 t õ
N(r, 0, f) = (r
+
0
f) log r +
zD(r)
z=0
(r
+
z
f) log |
r
z
|,
tr õ D(r) r r
+
z
f = max{0, r
z
f} ở
ừ ổ
m(r, a, f) ừ f t tr
a C ữủ ữ s
m(r, a, f) =
2
0
log
+
1
f(re
i
) a
d
2
,
m(r, , f) =
2
0
log
+
| f(re
i
) |
d
2
,
tr õ log
+
x = max{0, log x}.
m
f
(r, ) ở ợ tr ừ log |f| tr ữớ trỏ
|z| = r
trữ T(r, a, f) ừ f t tr
a C ữủ ữ s
T (r, a, f) = m(r, a, f) + N
f
(r, a, f),
T (r, f) = m(r, , f) + N(r, , f).
t t õ trữ ố ợ ỵ tt
õ trỏ tữỡ tỹ ữ ừ tự tr ỵ
tt tự ứ trữ t õ
T (r, a, f) N(r, a, f) + O(1),
tr õ O(1) ữủ r
ợ t ổ tự Pss ỵ
ữủ t ữ s
T (r, f) = T (r, a, f) + log |f(0)|.
ởt số ử
ử t ỳ t
f(z) = c
z
p
+ + a
p
z
q
+ + b
p
,
tr õ c = 0.
t sỷ p > q õ f(z) z ữ
m(r, a, f) = 0(1) z a ỳ Pữỡ tr f(z) = a
õ p t ở õ
N(r, a, f) =
r
a
n(t, a)
dt
t
= p log r + O(1)
r . ữ
T (r, f) = p log r + O(1),
N(r, a, f) = p log r + O(1), m(r, a) = O(1) ợ a = . Pữỡ
tr f(z) = õ q t
N(r, , f) = q log r + O(1),
ỵ ỡ tự t
m(r, , f) = (p q) log r + O(1).
p < q t tữỡ tỹ t õ
T (r, f) = q log r + O(1), N(r, a, f) = q log r + O(1),
m(r, a, f) = O(1), ợ a = 0.
a = 0
N(r, 0, f) = p log r + O(1), m(r, a, f) = (q p) log r + O(1).
ố ũ p = q,
T (r, f) = q log r + O(1),
N(r, a) = q log r + O(1), ợ a = c. ỡ ỳ ỵ k
trt t ừ f c t õ
m(r, c, f) = k log r + O(1), N(r, c, f) = (q k) log r + O(1).
tr ồ trữớ ủ
T (r, f) = d log r + O(1),
tr õ d = max(p, q).
ử t f(z) = e
z
.
r trữớ ủ
m(r, f) =
2
0
log
+
e
re
i
d
2
=
2
2
r cos
d
2
=
r
.
f N(r, , f) = 0 õ T (r, f) = r/.
ợ a = 0, , t f(z) = a õ ợ ý 2i õ
2t
2
tr õ t, õ
N(r, a, f) =
r
o
t
dt
t
+ O(log r) =
r
+ O(log r).
m(r, a, f) = O(log r).
ử t sin z cos z
ợ ồ a ỳ
N(r, a, sin z) + O(1) = N(r, a, cos z) + O(1) =
2r
+ O(1).
ứ sin z cos z ữủ tờ ủ t t ừ e
iz
e
iz
t õ
T (r, sin z) + O(1) = T(r, cos z) + O(1)
2r
+ O(1).
t
T (r, sin z) + O(1) = T(r, cos z) + O(1) =
2r
+ O(1)
m(r, a, sin z) + O(1) = m(r, a, cos z) + O(1) = O(1).
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét