1
Nhiệt Liệt chào mừng
các thầy cô giáo và
các em
Biên soạn
:
Trần Thanh Thái
Đơn Vị
: Trường THPT Dân Lập Diêm Điền trường THPT dân lập diêm điền Trường thpt dân lập diêm điền
trường thpt Đông thụy anh
Thứ năm , ngày 28 tháng 02 năm 2008
2
Bảng tổng kết chương IV: Giới hạn
- Giới hạn hữu hạn.
- Các định lí về
giới hạn hữu hạn .
- Tổng của CSN
lùi vô hạn.
- Giới hạn vô cực.
Giới hạn
của dãy số
Giới hạn
của hàm số
Hàm số
liên tục
- Giới hạn hữu hạn
tại một điểm.
- Giới hạn hữu hạn
tại vô cực.
- Giới hạn vô cực.
- Hàm số liên tục
tại một điểm.
- Hàm số liên tục
trên một khoảng.
- Một số định lí cơ
bản.
3
n tập chương IVÔ : Giới hạn
1. Phương pháp tính giới hạn của hàm số không áp dụng trực tiếp được các
định lí , quy tắc về giới hạn ( các dạng vô định )
2. Ôn tập kiến thức cơ bản về tính liên tục của hàm số . Các dạng toán về
tính liên tục của hàm số.
Tiết 1
1. Ôn tập kiến thức cơ bản về giới hạn của dãy số. Phương pháp tính giới hạn của
dãy số.
2. Ôn tập kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số. Tính giới hạn bằng cách áp
dụng trực tiếp các định lí , quy tắc về giới hạn của hàm số.
Tiết 2
4
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
Dạng 1:
0)()(
)(
)(
lim
0
==
xvxu
xv
xu
xx
00
xxxx
limlim khi
Phương pháp:
Bước 1: Ta biến đổi như sau:
)(
)(
lim
)()(
)()(
lim
)(
)(
lim
000
0
0
xB
xA
xBxx
xAxx
xv
xu
xxxxxx
=
=
Bước 2: Tính
)(
)(
lim
0
xB
xA
xx
(Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến dưới dấu
căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức
liên hợp trước khi thực hiện bước 1.)
Bài 1 : Tính các giới hạn sau:
9
34
lim)
2
2
3
+
x
xx
a
x
1
235
lim)
3
1
+
x
x
b
x
1
32
lim)
1
+
x
x
c
x
1
335
lim)
3
1
++
x
xx
d
x
Bài giải:
n tập chương IVÔ : Giới hạn
3
1
3
1
lim
)3)(3(
)3)(1(
lim
9
34
lim)
3
3
2
2
3
=
+
=
+
=
+
x
x
xx
xx
x
xx
a
x
xx
12
5
)4352)35((
5
lim
)4352)35()(1(
)1(5
lim
1
235
lim)
3
3
2
1
3
3
2
1
3
1
=
++++
=
++++
=
+
xx
xxx
x
x
x
b
x
x
x
4
1
32
1
lim
)32)(1(
1
lim
1
32
lim)
1
11
=
++
=
++
=
+
x
xx
x
x
x
c
x
xx
6
1
4
1
12
5
1
32
lim
1
235
lim
1
335
lim)
1
3
1
3
1
==
+
+
+
=
++
x
x
x
x
x
xx
d
xx
x
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
5
Dạng 2:
==
)(lim;)(lim
)(
)(
lim xvxukhi
xv
xu
xxx
Phương pháp:
- Chia tử và mẫu cho x
n
với n là số
mũ bậc cao nhất của x.
( Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến x
trong dấu căn thì đưa x
n
ra ngoài dấu
căn trước khi chia)
Bài 2 : Tính các giới hạn sau.
725
132
lim)
3
23
++
+
xx
xx
a
x
1
53
lim)
2
++
xx
x
b
x
Bài giải:
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
5
2
)
72
5(
)
13
2(
lim
)
72
5(
)
13
2(
lim
725
132
lim)
32
3
32
3
3
3
3
23
=
++
+
=
++
+
=
++
+
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
a
x
xx
5
11
1
)5
3
(
lim*
5
11
1
)5
3
(
lim*
11
1
)5
3
(
lim
1
53
lim)
2
2
2
2
=
++
=
=
++
=
++
=
++
=
+
xx
x
I
xx
x
I
xx
x
x
x
xx
x
Ib
x
x
xx
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
6
4
1
)2
1
4(
1
lim
)2
1
4(
lim
)2
1
4(
lim
)24(
lim)24(lim)
2
2
=
+
=
+
=
=
=+
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
xxxb
x
xx
xx
Dạng 3, 4
)]()([lim)3
)(
0
xvxu
xxx
==
)(lim;)(lim
)()(
00
xvxukhi
xxxxxx
)().(lim)4
)(
0
xvxu
xxx
==
)(lim;0)(lim
)()(
00
xvxukhi
xxxxxx
Phương pháp:
-
Nhân và chia với biểu thức liên hợp (nếu có
biểu thức chứa biến dưới dấu căn).
Hoặc quy đồng mẫu để đưa về một phân thức
(nếu chứa nhiều phân thức)
Bài 3 : Tính các giới hạn sau.
)1
1
1
(
1
lim)
0
+
xx
a
x
)24(lim)
2
xxxb
x
+
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
Bài giải:
1
1
1
lim
)
1
(
1
lim)1
1
1
(
1
lim)
0
00
=
+
=
+
=
+
x
x
x
xxx
a
x
xx
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
7
II. Ôn tập về hàm số liên tục.
1. Kiến thức cơ bản.
* Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên khoảng,trên đoạn.
( Định nghĩa 1;2 SGK trang 136)
* Các định lí về hàm số liên tục.
(Định lí 1;2;3 SGK trang 137-138)
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
8
2. Các dạng toán.
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm.
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x
0
{ }
=
)()(lim)3
)(lim)2
)()1
0
00
0
0
xfxf
xf
TXxxf
xx
xx
Đ
*Nếu hàm số cho bởi một công thức : y= f(x)
hoặc :
Bước 1: Tính f(x
0
)
Bước 2: Tính
)(lim
0
xf
xx
Bước 3: So sánh
)(lim
0
xf
xx
và f(x
0
)
Bước 4: Kết luận về tính liên tục.
=
==
0
0
)(
xxkhi
xxkhi
xfy
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số .
a) f (x)= x
2
-3x+5 tại x
0
= 1
2
65
)()
2
+
=
x
xx
xfb
tại x
0
=2
=
+
=
21
2
2
65
)()
2
xkhi
xkhi
x
xx
xfc
tại x
0
=2
=
+
=
17
1
)1(
32
)()
2
2
xkhi
xkhi
x
xx
xfd
tại x
0
=-1
II. Ôn tập về hàm số liên tục.
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
a) f(x)= x
2
-3x+5 tại x
0
= 1
Bài giải:
Ta có :
3)53(lim)(lim)1(
2
11
=+==
xxxff
xx
Hàm số liên tục tại x
0
=1
Bài giải:
Ta có :
2
65
)()
2
+
=
x
xx
xfb
tại x
0
=2
)2(2
0
fx = khôngTXĐ
Hàm số không liên tục tại x
0
=2
Bài giải:
Ta có :
=
+
=
21
2
2
65
)()
2
xkhi
xkhi
x
xx
xfc
)2()(lim*
1)3(lim
2
65
lim)(lim*
1)2(*
2
2
2
22
fxf
x
x
xx
xf
f
x
xxx
=
==
+
=
=
Hàm số liên tục tại x
0
=2
tại x
0
=2
Hàm số không liên tục tại x
0
=-1
=
+
=
+
=
=
1
3
lim
)1(
32
lim)(lim*
7)1(*
1
2
2
11
x
x
x
xx
xf
f
xxx
tại x
0
=-1
=
+
=
17
1
)1(
32
)()
2
2
xkhi
xkhi
x
xx
xfd
Bài giải:
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
9
Bài 2: Cho hàm số.
=
+
=
3
3
21
3
)(
xkhim
xkhi
x
x
xf
Hàm số đã cho liên tục tại x=3 khi m bằng :
A. 4 B. -1 C. 1 D. -4
(Hãy chọn đáp án đúng)
Hướng dẫn.
4
3
)21)(3(
lim
21
3
lim)(lim*
)3(*
3
33
=
++
=
+
=
=
x
xx
x
x
xf
mf
x
xx
2. Các dạng toán.
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm.
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x
0
{ }
=
)()(lim)3
)(lim)2
)()1
0
00
0
0
xfxf
xf
TXxxf
xx
xx
Đ
*Nếu hàm số cho bởi một công thức : y= f(x)
hoặc :
Bước 1: Tính f(x
0
)
)(lim
0
xf
xx
Bước 3: So sánh
)(lim
0
xf
xx
và f(x
0
)
Bước 4: Kết luận về tính liên tục.
=
==
0
0
)(
xxkhi
xxkhi
xfy
II. Ôn tập về hàm số liên tục.
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
Bước 2: Tính
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
10
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x
0
{ }
=
)()(lim)3
)(lim)2
)()1
0
00
0
0
xfxf
xf
TXxxf
xx
xx
Đ
* Nếu hàm số cho bởi công thức :
<
==
0
0
)(
xxkhi
xxkhi
xfy
Bước 1: Tính f(x
0
)
Bước 2: Tính
)(lim;)(lim
00
xfxf
xxxx
+
Bước 3: So sánh
và f(x
0
)
)(lim;)(lim
00
xfxf
xxxx
+
Bước 4: Kết luận về tính liên tục.
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số .
1
12
1
12
1
)( =
<
==
0
xtại
xkhix
xkhi
x
x
xfy
2. Các dạng toán.
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm.
II. Ôn tập về hàm số liên tục.
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
Bài giải.
Ta có :
* f(1)=-2
2)]12([lim
1
)12)(1(
lim
12
1
lim)(lim*
1
111
=+=
+
=
=
x
x
xx
x
x
xf
x
xxx
2)2(lim)(lim
11
==
++
xxf
xx
2)1()(lim)(lim*
11
===
+
fxfxf
xx
* Hàm số liên tục tại x
0
=1
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
11
Dạng 2: Gán cho f(x) một giá trị nào đó tại x
0
để f(x) liên tục tại x
0
.
* Bước 1: Tính
)(lim
0
xf
xx
* Bước 2: Gán f(x
0
)=a
Giả sử
axf
xx
=
)(lim
0
(a hữu hạn)
Bài 4: Các hàm số sau gián đoạn tại x
0
, phải
gán cho f(x
0
) giá trị bằng bao nhiêu để chúng
liên tục tại x
0
.
1
1
32
)()
2
=
+
=
0
x tại
x
xx
xfa
5
5
32
)() =
+
=
0
x tại
x
x
xfb
2. Các dạng toán.
II. Ôn tập về hàm số liên tục.
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
Bài giải.
4)3(lim
1
)3)(1(
lim
1
32
lim)(lim*)
11
2
11
==
+
+
=
+
=
x
x
xx
x
xx
xfa
xx
xx
* Với f(-1) =- 4 thì hàm số liên tục tại x
0
=-1
=
+
=
5
32
lim)(lim*)
55
x
x
xfb
xx
* Hàm số luôn gián đoạn tại x
0
=5
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
12
Dạng3 : Xét tính liên tục của hàm số trên tập
xác định .
* Dựa vào định lí 1,2 trang 137 SGK nên xét
tính liên tục của hàm số trên TXĐ thực chất là
xét tính liên tục tại một số điểm (dạng 1).
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau
trên TXĐ của chúng.
=
+
=
21
2
2
65
)()
2
xkhi
xkhi
x
xx
xfa
>
<
+
=
33
3252
2
2
65
)()
2
xkhix
xkhix
xkhi
x
xx
xfb
2. Các dạng toán.
II. Ôn tập về hàm số liên tục.
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
Bài giải.
*Tập xác định của f(x):D=R
2
65
)(2*
2
+
=
x
xx
xfxKhi cóta
là hàm phân số hữu tỉ nên liên tục.
* Tại x=2 ta có:
1)3(lim
2
65
lim)(lim
1)2(
2
2
22
==
+
=
=
x
x
xx
xf
f
x
xx
* Do đó f(x) liên tục trên R
xxfctaxKhi => 3)(3* ó
là hàm đa thức nên liên tục.
* Tại x=2 ta có:
1)52(lim)(lim
1)3(lim
2
65
lim)(lim
1)2(
22
2
2
22
==
==
+
=
=
++
xxf
x
x
xx
xf
f
xx
x
xx
Do đó f(x) liên tục tại x=2
* Tại x=3 ta có:
0)3(lim)(lim
1)52(lim)(lim
1)3(
33
33
==
==
=
++
xxf
xxf
f
xx
xx
Do đó f(x) gián đoạn tại x=3
Vậy f(x) liên tục trên
{ }
3\R
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x).
Bước 2: áp dụng định lí 1 , 2 chỉ ra các
khoảng liên tục của hàm số.
Bước 3: Xét tính liên tục của hàm số tại
một (một số) điểm đặc biệt.
Bước 4: Kết luận.
>
<
+
=
33
3252
2
2
65
)()
2
xkhix
xkhix
xkhi
x
xx
xfb
Bài giải.
*Tập xác định của f(x):D=R
2
65
)(2*
2
+
=<
x
xx
xfctaxKhi ó
là hàm phân số hữu tỉ nên liên tục.
52)(32* =<< xxfctaxKhi ó
là hàm đa thức nên liên tục.
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau
trên TXĐ của chúng.
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
13
Dạng 4: ứng dụng tính liên tục của hàm số
để CM sự tồn tại nghiệm của phương trình.
(AD: Định lí 3 trang 137 SGK)
* Để CM phương trình f(x)=0 có nghiệm
ta phải tìm được 2 số a và b thỏa mãn
đồng thời.
- Hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
- Tích f(a).f(b) <0
Bài 6:
a) CMR phương trình sau luôn có ít nhất 1
nghiệm thuộc (0;2)
x
3
+x-1=0
b) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm.
2x
5
-10x-7=0
c) CMR phương trình sau luôn có nghiệm với
mọi giá trị của m.
(1-m
2
)x
5
-3x-1=0
2. Các dạng toán.
II. Ôn tập về hàm số liên tục.
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
a) CMR phương trình sau luôn có ít nhất 1
nghiệm thuộc (0;2)
x
3
+x-1=0
Bài giải.
Ta có: f(x)=x
3
+x-1 liên tục trên R
f(0)=-1 và f(2)=9 nên f(0).f(2)=-9<0
Suy ra ĐPCM
b) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm.
2x
5
-10x-7=0
Bài giải.
Ta có: f(x)=2x
5
-10x-7 liên tục trên R
f(0)=-7;f(-1)=1 và f(2)=37
Suy ra ĐPCM
f(-1).f(0)<0 ; f(0).f(2)<0
c) CMR phương trình sau luôn có nghiệm
với mọi giá trị của m.
(1-m
2
)x
5
-3x-1=0
Bài giải.
Ta có f(x) =(1-m
2
)x
5
-3x-1 liên tục trên R
f(0)=-1<0 và f(-1)=1+m
2
>0
nên f(0).f(-1)<0 với mọi m
Suy ra ĐPCM
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
14
Dạng 4: ứng dụng tính liên tục của hàm số
để CM sự tồn tại nghiệm của phương trình.
(AD: Định lí 3 trang 137 SGK)
* Để CM phương trình f(x)=0 có nghiệm
ta phải tìm được 2 số a và b thỏa mãn
đồng thời.
- Hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
- Tích f(a).f(b) <0
2. Các dạng toán.
II. Ôn tập về hàm số liên tục.
(Tiết 2)
I. Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định.
n tập chương IVÔ : Giới hạn
Bài 7: Cho phương trình: 2x
4
-5x
2
+x+1=0 (1)
Hãy chọn mệnh đề đúng?
A. PT(1) không có nghiệm trong (-1;1)
B. PT(1) không có nghiệm trong (-2;0)
C. PT(1) chỉ có 1 có nghiệm trong (-2;1)
D. PT(1) có ít nhất 2 nghiệm trong (0;2)
Hướng dẫn.
Ta có f(x)=2x
4
-5x
2
+x+1 liên tục trên R
*f(-1)=-3 ; f(1)=-1
*f(-2)=11 ; f(0)=1
*f(-2)=11 ; f(1)=-1
*f(0)=1 ; f(1)=-1 ; f(2)=15
01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét